「錯角と同位角のどっちを使えばいいのかわからない」「多角形の内角の和を求める公式を忘れてしまう」——富士見市・ふじみ野市・三芳町・志木市・新座市エリアの中学生を指導していると、図形の角度の単元でつまずくお子さまを毎年見かけます。角度の問題は公式そのものは単純でも、図のどこに着目すればよいかが見えにくく、苦手意識を持ちやすい分野です。夏休みに入る前のこの時期に基礎を固めておけば、2学期の定期テストや入試の図形問題にもつながります。本記事では、平行線と角・多角形の内角外角の求め方と、つまずきを克服するコツを解説します。
なぜ図形の角度は苦手になりやすいのか
角度の単元でつまずくお子さまには、いくつかの共通する原因があります。
- 原因①「同位角・錯角・対頂角の違いがあいまい」：用語と図の位置関係が一致しておらず、どの角とどの角が等しいのかを毎回迷ってしまう
- 原因②「補助線を引く発想がない」：複雑な図形になると、平行線を1本引くだけで解ける問題でも、その発想に至らず手が止まる
- 原因③「多角形の内角・外角の公式を丸暗記していて意味を理解していない」：公式の数字だけ覚えていて、なぜその式になるのかを説明できない
平行線と角の基本を整理する
同位角・錯角・対頂角の見分け方
2本の直線が1本の直線と交わるとき、同じ位置にできる角を「同位角」、交わる点をはさんで反対側にできる角を「錯角」、向かい合う角を「対頂角」と呼びます。2本の直線が平行であれば、同位角と錯角はそれぞれ等しくなります。用語を暗記するだけでなく、実際の図を見ながら「この角とこの角がどんな位置関係にあるか」を指でなぞって確認する練習を重ねると、位置関係が体に染みつきやすくなります。
補助線を引く練習をする
平行線が図の中に見当たらない問題では、求めたい角の頂点を通るように新しく平行な線(補助線)を引くことで、同位角や錯角の関係を作り出せることがあります。補助線は「どこに引けば正解にたどり着くか」を一目で見抜くのは難しいため、まずは解説を見ながら「なぜここに補助線を引いたのか」を理解し、似たパターンの問題を繰り返し解いて感覚をつかんでいくのが近道です。
多角形の内角の和・外角の和
内角の和は三角形に分けて考える
多角形の内角の和を求める公式は「180度×(頂点の数マイナス2)」ですが、これは多角形を1つの頂点から対角線で区切ると、いくつかの三角形に分けられることに由来します。三角形の内角の和が180度であることを土台に、五角形なら三角形3つ分、六角形なら三角形4つ分というように、実際に対角線を引いて三角形に分割してみると、公式を丸暗記しなくても仕組みから理解できます。
外角の和はどんな多角形でも360度
多角形の外角の和は、頂点の数に関係なくつねに360度になります。これは、多角形の辺に沿ってぐるりと1周する間に、進行方向がちょうど1周分(360度)変化することに対応しています。内角の和は頂点の数によって変わるのに対し、外角の和は変わらないという違いを意識しておくと、問題を解くときにどちらの公式を使うべきかを判断しやすくなります。
正多角形の1つの角の求め方
正多角形は辺の長さと角の大きさがすべて等しい多角形です。1つの内角の大きさを求めるときは、内角の和を頂点の数で割ります。逆に1つの外角の大きさを求めるときは、外角の和である360度を頂点の数で割れば求められます。正多角形の問題では、先に外角から求めたほうが計算がシンプルになるケースも多いため、内角と外角のどちらから攻めるほうが早いかを見極める練習もしておくとよいでしょう。
夏休み前にやっておきたい角度の総復習
東武東上線沿線の富士見市・ふじみ野市・三芳町・志木市・新座市・川越市にお住まいのご家庭では、鶴瀬駅・ふじみ野駅・柳瀬川駅・志木駅・川越駅周辺の中学校で夏休み前に図形の角度を学習し終えているケースが多く、夏休みは総復習の好機です。次のような進め方を意識してみてください。
- 教科書やワークの図を見ながら、同位角・錯角・対頂角の位置関係をノートにまとめ直す
- 補助線を使う問題は、解説の補助線の引き方を写して「なぜそこに引くのか」を確認する
- 多角形の内角・外角の和は、実際に対角線を引いて三角形に分けながら公式の意味を確認する
- 正多角形の角度を求める問題を複数解き、内角と外角のどちらから求めるほうが早いか判断する練習をする
お子さまが角の位置関係でつまずいているのか、補助線の発想が浮かばないのかは、ご家庭だけでは見極めが難しいこともあります。エイメイ学院や明成個別では、つまずきの原因に合わせて個別に指導してもらえるので、夏休みのうちに苦手を解消しておきたいご家庭にもおすすめです。
まとめ｜位置関係と仕組みの理解が得点力につながる
- 同位角・錯角は平行線があるときに等しくなる：図の位置関係を指でなぞって確認する
- 補助線は平行線を作るために引く：解説を見ながらパターンを積み重ねる
- 多角形の内角の和は三角形に分けて考える：公式の丸暗記より仕組みの理解を優先する
- 外角の和はどんな多角形でも360度：正多角形の角度は外角から求めると早いこともある
図形の角度は、位置関係と公式の仕組みさえ理解できれば、パターンが限られているぶん得点源にしやすい単元です。夏休みの復習に組み込んで、2学期以降の定期テストや入試につながる土台を作っておきましょう。
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