「yはxに比例するって言われても、何がどうなればいいのかわからない」「反比例のグラフがなぜ曲線になるのか説明できない」——富士見市・ふじみ野市・三芳町・志木市・新座市・川越市エリアの中学1年生を指導していると、比例・反比例の単元で式とグラフのつながりがつかめず、点数を落としてしまうお子さまを毎年見かけます。中学数学の中でも早い時期に習う単元でありながら、その後の1次関数・2次関数の土台になる重要な内容です。夏休みは基礎に立ち返って復習できる貴重な期間です。本記事では、比例・反比例の基本の整理から、グラフの読み取り・文章題の解き方までを解説します。
比例・反比例でつまずきやすいポイント
比例・反比例の単元でつまずくお子さまには、いくつかの共通する原因があります。
- 原因①「比例定数の意味を理解していない」：式の形だけを覚えていて、比例定数が何を表しているのかがわかっていない
- 原因②「式とグラフを結びつけて考えられない」：式を求める問題とグラフを読み取る問題を別々の作業として覚えてしまい、両方が出る応用問題で対応できない
- 原因③「比例と反比例の違いがあいまいなまま」：どちらも「xとyの関係を表す式」という点は同じなので、式の形やグラフの形の違いを整理できていない
比例の基本を整理する
比例の式とグラフ
比例は「y=ax」という式で表され、xの値が2倍、3倍になると、yの値も2倍、3倍になる関係です。グラフに表すと、原点(0,0)を通る直線になります。aの値がプラスであれば右上がりの直線、マイナスであれば右下がりの直線になるという点も、実際にいくつかのグラフを描いて確認しておくと感覚として身につきます。
比例定数の意味
比例の式「y=ax」のaを比例定数と呼びます。比例定数は、xが1増えたときにyがどれだけ増えるかを表す値であり、グラフで見ると直線の傾きの大きさに対応しています。「比例定数を求めなさい」という問題では、xとyの1組の値を式に代入してaを求める、という手順を機械的にできるようにしておくと、応用問題でも迷わずに対応できます。
反比例の基本を整理する
反比例の式とグラフ
反比例は「y=a/x」という式で表され、xの値が2倍、3倍になると、yの値は2分の1倍、3分の1倍になる関係です。グラフに表すと、原点を通らない、なめらかな曲線(双曲線)が2本描かれる形になります。比例のグラフが直線であるのに対し、反比例のグラフは曲線であるという違いを、実際に何点かの座標をとってグラフを描きながら確認しておくと、式とグラフの形が結びついて理解しやすくなります。
比例との違いを整理する
比例と反比例の違いを整理すると、比例は「xが増えるとyも増える(またはともに減る)」関係、反比例は「xが増えるとyは減る」関係です。式の形も、比例は「y=ax」、反比例は「y=a/x」とxのある位置が異なります。この2つを表にして書き出し、式・グラフの形・xとyの増減の関係を並べて比較しておくと、テストで混同しにくくなります。
文章題・グラフの読み取り問題の解き方
比例・反比例の文章題では、まず問題文の中から「何をxとし、何をyとするか」を自分で決める作業が必要になります。例えば「1個の値段が決まっている品物をx個買ったときの代金y円」という設定であれば比例、「一定の量の水をx人で均等に分けたときの1人分の量y」という設定であれば反比例、というように、xとyの関係が増える方向に動くのか減る方向に動くのかを問題文から読み取る練習を重ねることが大切です。グラフの読み取り問題では、グラフ上のわかりやすい1点の座標を読み取り、その座標を式に代入して比例定数を求める、という手順を毎回同じ順番で行うようにすると、ケアレスミスが減ります。
夏休み中に取り組みたい復習のポイント
東武東上線沿線の富士見市・ふじみ野市・三芳町・志木市・新座市・川越市にお住まいのご家庭では、鶴瀬駅・ふじみ野駅・柳瀬川駅・志木駅・川越駅周辺の中学校で比例・反比例を学習済みのお子さまも多く、夏休みは1学期の内容を整理し直す好機です。次のような進め方を意識してみてください。
- 比例と反比例の式・グラフの形・xとyの増減の関係を1枚の表にまとめてみる
- 簡単な数字を使って、比例・反比例それぞれのグラフを実際に手を動かして描いてみる
- 教科書やワークの文章題を、xとyを自分で設定するところから解き直してみる
- グラフの読み取り問題で、座標を読む→式に代入する、という手順を毎回同じ流れで練習する
比例・反比例は、中2の1次関数、中3の2次関数につながる土台となる単元です。ご家庭で見ていて、お子さまが式は覚えているのにグラフになると解けなくなる、あるいはその逆の傾向がある場合は、エイメイ学院や明成個別で、つまずきの原因に合わせた指導を受けることも有効です。夏休みのうちに基礎を固めておくと、2学期以降の関数の単元にスムーズにつながります。
まとめ｜式とグラフをセットで理解する
- 比例は「y=ax」原点を通る直線：比例定数aは直線の傾きに対応する
- 反比例は「y=a/x」原点を通らない曲線：xが増えるとyが減る関係になる
- 比例と反比例の違いは表にして整理する：式の形とxとyの増減の関係を並べて比較する
- 文章題はxとyを自分で設定する練習をする：増える関係か減る関係かを問題文から読み取る
比例・反比例は、式とグラフをセットで理解できれば、決して難しい単元ではありません。夏休みの復習に組み込んで、2学期以降の関数の単元につながる土台を固めておきましょう。EIMEI教育学習塾グループでは富士見市・ふじみ野市・三芳町・川越市エリアの中学生に向けて、単元ごとのつまずきに合わせた指導を行っています。
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